5. IL CROSSOVER SERIE A DUE COMPONENTI REATTIVI

Si è più volte avuto modo di affermare in precedenza che la sostanziale differenza tra crossover in configurazione Parallelo ed in configurazione Serie è la diretta conseguenza dell’interazione tra le reti RLC che compongono un crossover di quest’ultima topologia.
Detto in altre parole, mentre ogni componente del crossover Parallelo è univocamente assegnato ad una sua singola sezione, nel caso del crossover Serie ciò risulta verificato sporadicamente e solo a particolarissime condizioni.
Un’interessante domanda che ci si può porre è se una tale interazione è sempre svantaggiosa o se pure essa può essere, in alcuni casi, sfruttata a proprio favore.
Più specificamente, è in qualche modo possibile realizzare funzioni di filtraggio superiori al primo ordine con il crossover Serie a due componenti reattivi illustrato in fig. 3b?
Dalla letteratura [6] è noto che la risposta è affermativa, una simile rete elettrica è in grado di implementare il cosiddetto crossover “Quasi-second order”. Esistono però ulteriori alternative?
Si può dimostrare che le funzioni di trasferimento generali delle sezioni passa-basso e passa-alto (virtuali) di un crossover Serie a due componenti reattivi sono rispettivamente date da:

\[ L(p) = \frac {p\frac{L}{R_t}+1}{p^2LC+pL(\frac{l}{R_w}+\frac{1}{R_t})+1}\quad(2a) \]

\[ H(p) = \frac {p\frac{L}{R_w}(pCR_w +1)}{p^2LC+pL(\frac{l}{R_w}+\frac{1}{R_t})+1}\quad(2b) \]

in cui p = jFn è la frequenza complessa normalizzata rispetto alla frequenza di taglio Ft.
Ne segue che entrambe dette funzioni:

1. mostrano una dipendenza da entrambi i carichi e da entrambi i componenti reattivi;
2. possiedono un denominatore comune, un polinomio del secondo ordine.

Inoltre, possono essere realizzate un numero infinito di funzioni di filtraggio. Ashley e Kaminsky hanno studiato un’intera famiglia [6] da implementare per mezzo di un crossover Serie a due componenti reattivi e nell’ipotesi di carichi bilanciati.
In tal caso le eqq. (2) divengono:

\[ L(p) = \frac {p\frac{L}{R}+1}{p^2LC+2p\frac{L}{R}+1}\quad(3a) \]

\[ H(p) = \frac {p\frac{L}{R}(pCR +1)}{p^2LC+2p\frac{L}{R}+1}\quad(3b) \]

L’implementazione di queste funzioni di trasferimento dà luogo a curve di ampiezza-frequenza simmetriche rispetto ad un asse parallelo all’asse delle ampiezze e passante per il punto di crossover.
Piuttosto sorprendentemente, nessuno sembra aver notato che, anche senza ricorrere alla drastica restrizione dei carichi bilanciati, ma semplicemente imponendo che sia LC=1, le eqq. (2) possono essere riscritte in una forma semplificata, ovvero:

\[ L(p) = \frac {a_1p+1}{p^2+2ap+1}\quad(4a) \]

\[ H(p) = \frac {p^2+a_2p}{p^2+2ap+1}\quad(4b) \]

dove i parametri ai sono numeri reali e positivi che soddisfano le condizioni:

\[ 2a=a_1+a_2 \quad(5a) \]

\[ \frac{a_1}{a_2}=\frac{R_w}{R_t}\quad(5b) \]

Per carichi bilanciati, ovvero se Rw = Rt = R, è anche a1 = a2 = a, e le eqq. (4) divengono:

\[ L(p)=\frac{ap+1}{p^2+2ap+1}\quad(6a) \]

\[ H(p)=\frac{p^2+ap}{p^2+2ap+1}\quad(6b) \]

le quali costituiscono espressioni alternative della famiglia del “Quasi-second order” di Ashley e Kaminsky.

I grafici in figg. 10 e 11 illustrano le caratteristiche di ampiezza e fase di funzioni di trasferimento appartenenti a tale famiglia per tre valori differenti del parametro “a”, implementabili mediante il crossover Serie di fig. 3b i valori dei cui componenti vengano ottenuti applicando le seguenti formule:

\[ L=\frac{aR}{2\pi F_t}\quad(7a) \]

\[ C=\frac{1}{2\pi aRF_t}\quad(7b) \]

Come pare ovvio, ponendo a=1 il risultato sarà una rete crossover Butterworth del primo ordine; è altresì facilmente dimostrabile che la simmetricità nelle curve di ampiezza delle due sezioni virtuali del crossover Serie permane per qualunque valore del parametro “a”.
Se si tornano ad analizzare i grafici in figg. 10 e 11, si può dedurre che ponendo a<1 si otterranno funzioni di filtraggio sottosmorzate con curve di fase che superano i 90°, mentre per a>1 si avranno all’opposto funzioni di filtraggio sovrasmorzate e curve di fase che esibiscono una transizione molto dolce tra 0° e 90°.
Ne segue che la denominazione di “Quasi-second order” mostra di essere giustificata solo se “a” è minore dell’unità.
Per applicazioni in cui viene richiesto l’uso di trasduttori dal differente livello di impedenza, le funzioni di trasferimento da prendere in esame sono le eqq. (2) o le eqq. (4), e si può dimostrare che le formule per la loro realizzazione tramite il crossover Serie a due componenti reattivi risultano:

\[ L=\frac{aR_tR_w}{\pi F_t(R_t+R_W)}\quad(8a) \]

\[ C=\frac{R_w+R_t}{4\pi aR_wR_tF_t}\quad(8b) \]

ove si può constatare che i valori di C ed L sono solo indirettamente dipendenti dai parametri a1 e a2 , mentre invece esiste una comune dipendenza diretta dal parametro “a”.
Le eqq. (8) possono essere convenientemente riscritte nella forma:

\[ L=2a \frac{R_p}{2\pi F_t}\quad(9a) \]

\[ C=\frac{1}{2a}\frac{1}{2\pi R_pF_t}\quad(9b) \]

utili ad evidenziare la dipendenza dei valori dei componenti reattivi del crossover Serie di fig. 3b dalla combinazione parallelo delle resistenze di carico Rw ed Rt; ovviamente nel caso di carichi bilanciati Rp = R/2, per cui dalle eqq. (9) si ritorna alle eqq. (7).
Ancora una volta, per a = 1 vengono ad essere realizzate funzioni di filtraggio Butterworth, ma la restrizione dei carichi bilanciati è rimossa e si ha:

\[ L=\frac{(2R_p)}{2\pi F_t}\quad(10a) \]

\[ C=\frac{1}{2\pi (2R_p)F_t}\quad(10b) \]

Ponendo a confronto le eqq. (10) con le note formule per la realizzazione di un crossover simmetrico del primo ordine Butterworth in configurazione Parallelo, segnatamente

\[ L=\frac{R_w}{2\pi F_t}\quad(11a) \]

\[ C=\frac{1}{2\pi R_tF_t}\quad(11b) \]

si può constatare che la realizzazione Serie richiederà un induttore di minor valore se Rw è maggiore di 2Rp e ciò accade sempre se Rw > Rt
Se per esempio Rw = 8 ed Rt = 4 , allora il valore dell’induttanza richiesta dal crossover Serie verrà ridotta di circa un terzo rispetto al caso di configurazione Parallelo, il che si traduce in una diminuzione della resistenza serie tipica dell’induttore (a parità di sezione di filo di rame e di tipologia di avvolgimento) e dunque in una minore attenuazione all’uscita della sezione inferiore.
Sempre in questo caso, il corrispondente incremento del valore di capacità richiesto non comporta in genere alcun problema o inconveniente.
In generale, si noti comunque che nella realizzazione di un crossover Serie come quello di fig. 3b sarebbe un grave errore scegliere un induttore dal filo di bassa sezione pensando che esso sia primariamente dedicato a svolgere la funzione di passa-alto per il tweeter; difatti, a basse frequenze, questo componente è attraversato dalla stessa corrente che scorre nella bobina mobile del woofer.

6. REALIZZAZIONE DI FUNZIONI DI FILTRAGGIO ASIMMETRICHE

Viene a questo punto da domandarsi se non sia possibile realizzare con il crossover Serie a due componenti reattivi illustrato in fig. 3b anche funzioni di filtraggio del secondo ordine o più prossime ad esse di quelle definite “Quasi-second order” con a<1.
E’ noto che l’espressione generale per un filtraggio passa-alto del secondo ordine è:

\[ H(p)=\frac{p^2}{p^2+2xp+1}\quad(12b) \]

dove al solito p = jFn è la frequenza complessa normalizzata rispetto alla frequenza di taglio Ft, ovvero Fn = F/Ft, ed x è un numero reale positivo.
Ora, se 2x = 2 ossia x = 1, tale funzione realizzerà un filtraggio Linkwitz (Q = 0.5), se 2x = 2 ossia x = 0.707, si avrà un filtraggio di tipo Butterworth (Q = 0.707) e se 2x = 1 ossia x = 0,5 si avrà un filtraggio di tipo Cebicev Filter (Q = 1).
Dato che come si è visto il crossover Serie a due componenti reattivi è una rete passa-tutto, fissando la funzione di trasferimento di una delle sue due sezioni virtuali, l’altra è ottenibile per differenza dall’unità, dunque risulta:

\[ L(p)=\frac{2xp+1}{p^2+2xp+1}\quad(12a) \]

Posto LC=1 nelle eqq. (2), le funzioni di trasfrerimento del crossover Serie di fig. 3b divengono:

\[ L(p)=\frac{p\frac{L}{R_t}+1}{p^2+pL(\frac{1}{R_w}+\frac{1}{R_t})+1}\quad(13a) \]

\[ H(p)=\frac{p^2+p\frac{L}{R_w}}{p^2+pL(\frac{1}{R_w}+\frac{1}{R_t})+1}\quad(13b) \]

Eguagliando i denominatori delle eqq. (12) e (13) si ha una prima condizione:

\[ 2x=L(\frac{1}{R_w}+\frac{1}{R_t}\quad(14a) \]

mentre dall’eguaglianza dei denominatori si ha che:

\[ 2x=\frac{L}{R_t}\quad(14b) \]

\[ \frac{L}{R_w}=0\quad(14c) \]

Quest’ultima condizione è ovviamente impossibile da realizzarsi, però è possibile giungere ad una soluzione approssimata facendo in modo che:

\[ R_w>>2xR_t\quad(15) \]

Le formule per il computo dei valori dei componenti del crossover saranno allora:

\[ L=\frac{(2xR_t)}{2\pi F_t}\quad(16a) \]

\[ C=\frac{1}{2\pi (2xR_t)F_t}\quad(16b) \]

In tal caso va tenuto conto che l’impedenza complessiva presentata dal crossover sarà prossima al più basso tra i valori delle resistenze di carico, nella fattispecie Rt.

7.CONCLUSIONI

Il differente comportamento in frequenza del crossover Serie rispetto al crossover Parallelo è diretta conseguenza dell’interazione tra le reti RLC che lo costituiscono.
Così, mentre in un crossover in configurazione Parallelo ogni componente reattivo è dedicato ad una ben identificata sezione di filtraggio, ciò si verifica molto raramente in un crossover di tipo Serie, il quale conseguentemente non può essere scomposto in sezioni, se non virtualmente.
Pertanto, la progettazione di un crossover Serie è sempre più complessa, sia in fase di prima realizzazione circuitale, perché la rete non può essere calcolata sezione per sezione come nel caso del crossover Parallelo, sia in fase di aggiustamento finale dei componenti sulla base dei requisiti elettroacustici imposti dal progetto, in quanto la variazione di un componente si riflette sul comportamento di entrambe le sezioni.
D’altra parte, detta interazione non costituisce sempre uno svantaggio, dato che può consentire l’implementazione di funzioni di filtraggio maggiori del primo ordine ed in taluni casi molto prossime a funzioni di filtraggio del secondo.
Nel corso del presente lavoro è stato dimostrato che il crossover Serie a due componenti reattivi è in grado inoltre di assumere un’infinità di comportamenti in frequenza, laddove un crossover simmetrico in configurazione Parallelo è in grado di realizzare unicamente filtraggi Butterworth del primo ordine.
Una restrizione che non è possibile rimuovere nel crossover Serie a due componenti reattivi è diretta conseguenza della sua natura di rete passa-tutto: non è possibile realizzare funzioni di trasferimento per le sezioni passa-alto e passa-basso se la loro somma non è unitaria
Imponendo una funzione desiderata per una delle due sezioni, l’altra sarà automaticamente definita per sottrazione dall’unità, ciò differentemente da quel che accade in un crossover Parallelo, ove l’indipendenza tra le sezioni consente di poter scegliere funzioni di filtraggio Butterworth a frequenza di taglio differente.
Va altresì sottolineato che, in un crossover Serie, la dipendenza dalla frequenza del carico di uno dei trasduttori impiegati si ripercuote sulle prestazioni di entrambe le sue sezioni virtuali, ciò che comunque non rappresenta necessariamente uno svantaggio.
Si nota infine che mentre in un crossover Parallelo tutte le uscite sono riferite a massa, nel caso del crossover Serie solo una di esse lo è. Ciò va tenuto in debito conto ad esempio nella misura diretta delle risposte elettriche delle varie sezioni.

Bibloografia

[1] V. Dickason, The Loudspeaker Design Cookbook, 5th edition, Audio Amateur Press, 1995.
[2] J.M. Eargle, Loudspeaker Handbook, Chapman & Hall, 1997.
[3] M.D. Hull, Building HiFi Speaker Systems, Philips El.Co.Ma. Technical Publication, 1980.
[4] D. Hermans, D. Hull, Designing HiFi speaker systems. Philips El.Co.Ma. Technical Publication, 1980.
[5] R. Small, “Constant-Voltage Crossover Network Design”, Proc. IREE Australia 31 (1970), reprinted in Loudspeakers an Anthology vol. 1, Audio Eng. Soc, pag. 172
[6] J.R. Ashley and A.L. Kaminsky, “Active and Passive Filters as Loudspeaker Crossover Networks”, 39th AES Convention (1970), reprinted in Loudspeakers. An Anthology vol. 1, Audio Eng. Soc, pag. 205.
[7] E. Baekgaard, “A Novel Approach to Linear Phase Loudspeakers Using Passive Crossover Networks”, J.Audio Eng. Soc (1977 May).
[8] F. Maffioli, U.Nicolao, “Another Approach to the Ideal Crossover: the Energy Filler”, 84° A.E.S. Convention, Parigi, 1988 (Preprint n.2642 L-6).
[9] U.Nicolao, F. Maffioli, “Series-Type Crossover Networks for Two-Way Loudspeaker Systems. Part 1: First to Less-Than-Second Order Crossovers”, 110° A.E.S. Convention, Amsterdam, 2001 (Preprint n.5321)