Realizzazioni di Ordine Inferiore al Secondo.

Nel contesto della progettazione di un sistema di altoparlanti, pare indiscutibile che l’implementazione di reti crossover in configurazione Parallelo rappresenti il più utile e flessibile approccio alla delicata fase della combinazione dei contributi elettroacustici dei trasduttori.
D’altra parte, si può altresì dimostrare che reti crossover di tipo Serie possono garantire al progettista alcune interessanti ed esclusive peculiarità.
Sfortunatamente, le convenzionali formule per il computo dei valori dei suoi componenti sono utilizzabili solo a condizioni fortemente restrittive, il che limita giocoforza il campo delle applicazioni.
Questo lavoro si propone di esplorare in maggiore dettaglio la topologia Serie delle reti crossover, con l’obiettivo di introdurre formule di impiego più generale e mostrandone vantaggi e svantaggi rispetto ad una più convenzionale soluzione Parallelo. In questo primo lavoro, verranno considerate realizzazioni di ordine inferiore al secondo.

0.CONSIDERAZIONI GENERALI

E’ ben noto che, in relazione al progetto di un diffusore acustico passivo multivia, solo idealmente il crossover può essere definito come quella rete elettrica che si incarica della ripartizione delle frequenze tra i vari tipi di altoparlanti del sistema.
Infatti, una tale definizione sarebbe corretta laddove i trasduttori fossero caratterizzati dall’avere:

• eguale sensibilità;
• ampia banda passante (ovvero uniformità di risposta in un ampio intervallo di frequenze);
• dispersione adeguatamente ampia e costante nella gamma di frequenze di interesse;
• eguaglianza tra gli sfasamenti acustici introdotti, quantomeno nella gamma di frequenze di interesse;
• coincidenza dei centri acustici degli altoparlanti;
• caratteristiche di impedenza puramente resistive,

ed esperienza insegna che una tale combinazione di eventi non si verifica, purtroppo, mai.
Proprio per questo, la rete crossover deve essere progettata con il fine di ottenere un sistema di altoparlanti caratterizzato da una risposta elettroacustica complessiva adeguata all’applicazione, prendendo in considerazione non solo l’ampiezza ma anche la fase e la risposta energetica (ed ovviamente senza dimenticare altri aspetti come la distosione e la tenuta in potenza). Come conseguenza, il crossover deve nel caso pratico assolvere al meglio i seguenti compiti:

• regolare le uscite acustiche dei trasduttori in modo da uniformarne i livelli di emissione;
• filtrare gli altoparlanti in modo da proteggerli da ampi segnali di frequenze inferiori alle rispettive bande passanti e limitare la distorsione totale;
• uniformare le risposte in frequenza elettroacustiche dei trasduttori e renderle compatibili per un incrocio con la via o le vie adiacenti;
• compensare l’andamento variabile con la frequenza dell’impedenza dei trasduttori ed eventualmente delle reti ad essi associate (equalizzatori di ampiezza e fase, ecc.).

Ne segue che ad ogni tipo di trasduttore (woofer, midrange o tweeter) deve essere di norma dedicata una sezione di crossover costituita da un numero adeguato di componenti passivi, resistori, condensatori e induttori, convenientemente dimensionati e collegati tra loro; nella fattispecie si può affermare che la complessità di ogni singola sezione si incrementa con il numero e l’entità degli interventi atti ad ottenere il comportamento desiderato dall’altoparlante cui essa è dedicata.
Dal punto di vista circuitale, il crossover è di fatto la rete elettrica che nella catena audio si interpone tra i trasduttori e l’amplificatore di potenza.
Parlando di realizzazioni passive, ossia ottenute con l’ausilio di soli componenti passivi come resistenze, condensatori e induttori, gli ingressi delle due sezioni del crossover possono essere collegate all’uscita dell’amplificatore di potenza secondo due modalità, in parallelo o in serie, da cui la denominazione della configurazione risultante.
In fig. 1, vengono poste a confronto le due differenti topologie di crossover passivo nel caso di un sistema di altoparlanti a due vie.

Figura 1 – Configurazioni di un crossover passivo destinato ad equipaggiare un sistema di altoparlanti a due vie: a) configurazione Parallelo; b) configurazione Serie.

1. CROSSOVER SERIE E PARALLELO A CONFRONTO

Una delle più interessanti peculiarità del crossover in configurazione Parallelo consiste nell’assenza di interazioni tra le sue sezioni, ciò che consente di progettarle separatamente e di effettuare liberamente aggiustamenti di valore di qualsivoglia componente nel corso di una qualunque fase della progettazione del sistema di altoparlanti.
Al contrario, nel crossover in configurazione Serie non esistono in genere componenti dedicati ad una singola sezione, dato che ogni condensatore e ogni induttore che compongono la rete elettrica hanno una qualche influenza sul comportamento in frequenza di tutte le sezioni.
Questa apparente contraddizione può essere spiegata dal fatto che tali sezioni esistono solo da un punto di vista matematico, essendo definite da rapporti tra una tensione di uscita (ai capi del singolo trasduttore) e una di ingresso, ma non potendo essere definite fisicamente per mezzo di una rete elettrica.
Ciò spiega anche perché nello schema del crossover Serie in fig. 1b i due doppi bipoli i cui rispettivi ingressi sono collegati in serie all’uscita dell’amplificatore vengono identificati con il generico termine di “rete RLC”, laddove nel crossover Parallelo in fig. 1a si è potuto assegnare ad ogni trasduttore la propria sezione.
Di conseguenza, la difficoltà nella realizzazione di un determinato crossover Serie è di molto superiore a quella riscontrabile nel progetto di un crossover Parallelo di pari ordine; più in dettaglio, è come se si avesse a che fare con una rete elettrica di ordine pari alla somma degli ordini delle singole sezioni. Per fare un esempio, la complessità realizzativa di un crossover Serie del secondo ordine da utilizzarsi in un sistema di altoparlanti a tre vie eguaglia quella di una rete elettrica del sesto ordine.
Perdipiù, nel progetto di un diffusore acustico con crossover Serie, la fase finale di aggiustamento dei valori dei componenti passivi del circuito finalizzata all’ottimizzazione della risposta elettroacustica è resa difficoltosa dal fatto che ogni modifica ha un impatto sulle funzioni di trasferimento di tutte le sue sezioni virtuali; come pare ovvio, ciò vale anche se il componente che viene ad essere modificato è un trasduttore.
Così, sul fronte della realizzazione di un diffusore acustico, mentre il crossover Parallelo può essere progettato individualmente sezione per sezione, nel caso di crossover Serie la progettazione deve coinvolgere contemporaneamente tutte le reti RLC le uscite delle quali risultano terminate sui trasduttori del sistema.
Da non dimenticare è poi il fatto che, sempre considerando un crossover di tipo Serie, la variabilità con la frequenza dell’impedenza presentata dal singolo altoparlante comporta conseguenze sul comportamento in frequenza di tutte le sezioni del crossover, e ancora che l’architettura della rete elettrica non consente multiamplificazioni passive (multiamping) o multicablature (multiwiring).
Di qui una complessità realizzativa la cui consistenza per il crossover Serie non di rado costituisce un ostacolo difficilmente sormontabile anche per il più esperto progettista di sistemi di altoparlanti.

2. IL CROSSOVER DI TIPO SERIE. DALLA TEORIA ALL’IMPLEMENTAZIONE

Probabilmente a causa dei menzionati limiti e degli indubbi svantaggi che la accompagnano, la topologia Serie dei crossover non è mai stata studiata con accuratezza e rigore. Dal punto di vista scientifico, ciò non trova però alcuna giustificazione validamente motivata.
A palese dimostrazione di questa lacuna nella Teoria delle reti crossover si ha che, sulla base delle conoscenze attuali, è possibile realizzare crossover Serie solamente in presenza delle seguenti restrizioni:

• carichi bilanciati, ovverosia i trasduttori debbono avere livelli di impedenza dello stesso valore ohmico
• frequenza di taglio identica per sezioni dalla banda passante adiacente (nel caso di un crossover Serie a due vie, le frequenze di taglio delle due sezioni devono essere coincidenti)
• curve di ampiezza speculari (rispetto ad un asse parallelo all’asse delle ampiezze e passante per il punto di incrocio elettrico), sempre per sezioni dalla banda passante adiacente

Non sorprende allora che la letteratura a riguardo del crossover Serie sia alquanto scarsa.
Come precisato da Dickason [1] in una breve quanto documentata panoramica delle tappe evolutive del crossover passivo per sistemi di altoparlanti, gli articoli di maggiore interesse per quanto attiene alla topologia Serie sono grossomodo datati tra il 1930 ed il 1970.
Ciò è probabilmente dovuto all’importanza delle cosiddette “reti crossover a resistenza costante”, implementabili indifferentemente come topologia Serie o Parallelo, in un periodo in cui gli amplificatori dotati di trasformatore d’uscita erano particolarmente diffusi.
Dall’avvento delle circuitazioni OTL (Output TransformerLess, ovvero senza trasformatore d’uscita) a stato solido, meno sensibili a variazioni dell’impedenza del carico con la frequenza, la topologia Parallelo è diventata di fatto l’unica configurazione di crossover utilizzata, ciò grazie alla sua incomparabile flessibilità progettuale.
L’ultimo contributo alla conoscenza dei crossover di tipo Serie è dovuto ad Ashley e Kaminsky [6], con l’introduzione della rete da essi denominata “Quasi-second order”.
Crossover Serie per carichi bilanciati sono altresì menzionati in [2], [3], [4], [5], [7], [8].
Nei successivi paragrafi, verrà affrontato il tema della realizzazione di semplici crossover di tipo Serie, con soli scopi di filtraggio, per quanto sia ovvio che in pratica una rete crossover completa richiede componenti aggiuntivi al fine di ottenere il comportamento elettrico ed elettroacustico desiderato dai trasduttori del sistema.
Questo significa che, nel caso ad esempio di un diffusore acustico a due vie, lo schema a blocchi generale del crossover sarà simile a qanto riportato in fig. 2.

Figura 2 – Schema a blocchi di un tipico crossover per sistemi di altoparlanti a due vie: a) configurazione Parallelo; b) configurazione Serie.

Le funzioni del crossover ivi menzionate sono quelle cui già si è fatto cenno in precedenza, filtraggio, equalizzazione ed attenuazione di livello; ovviamente il caso illustrato è tipico di trasduttori estremamente lontani dal modello ideale.
In molti casi pratici, uno o più blocchi possono essere omessi o, ancora, più funzioni possono essere svolte da un singolo blocco di componenti. Dalla fig. 2 appare in tutta evidenza come il blocco di filtraggio realizzi solo una delle numerose funzioni che possono essere attribuite al crossover.
Pur riconoscendo tutto ciò, al fine di non estendere indefinitamente il campo di discussione, nel prosieguo del presente lavoro, parlando di crossover, non verranno presi in esame altri blocchi funzionali se non quelli di filtraggio, limitando l’analisi a sistemi di altoparlanti a due vie; in pratica si supporrà che al crossover siano affidate solo mansioni di filtraggio.
Inoltre, il carico dei trasduttori verrà considerato come puramente resistivo; ciò non lede minimamente la generalità delle conclusioni, in quanto implica semplicemente che si faccia uso all’occorrenza di reti di Zobel propriamente dimensionate al fine di compensare, in via totale o parziale, l’eventuale variabilità con la frequenza dei singoli carichi “visti” dalle uscite del crossover.
Dunque, il crossover sarà terminato da carichi puramente resistivi, di valore Rt per quanto riguarda la sezione superiore, di valore Rw per quanto riguarda la sezione inferiore del sistema di altoparlanti.
A scanso di equivoci, è bene inoltre precisare che, salvo diversamente specificato, ogni discussione nella presente trattazione concernerà il dominio elettrico, ovvero che le funzioni di trasferimento che si intende analizzare sono date da rapporti di tensioni. Con riferimento alla fig. 2, oggetto dello studio è il primo blocco funzionale a partire da sinistra, cioè la rete elettrica di filtraggio, la quale, per semplicità, si presume sia chiamata a pilotare carichi puramente resistivi.
Le caratteristiche di risposta elettroacustiche dei trasduttori che si accompagnano al crossover o le conseguenze del filtraggio in ambito elettroacustico non verranno prese in esame in questa sede.
Ciò consente di presentare liberamente le principali caratteristiche della rete crossover, lasciando al progettista di diffusori acustici ogni ulteriore considerazione. E’ opinione di chi scrive che il confronto tra diverse realizzazioni di crossover passivo sia privo di costrutto senza una visione allargata al dominio elettroacustico.

2. IL CROSSOVER DI TIPO SERIE. DALLA TEORIA ALL’IMPLEMENTAZIONE

Il più elementare esempio di crossover simmetrico a due vie di tipo Serie è riportato, a confronto con la tradizionale versione Parallelo del primo ordine, in fig. 3.

Figura 3 – Realizzazioni circuitali di crossover passivi a due componenti reattivi: a) configurazione Parallelo; b) configurazione Serie.

Come già anticipato, entrambi detti crossover assolvono unicamente compiti di filtraggio e sono terminati su carichi resistivi.
Tenendo presente gli schemi generali di fig. 1, è come prima cosa interessante osservare che le reti RLC alle uscite delle quali sono rispettivamente connessi il resistore Rt, che rappresenta elettricamente il tweeter (accompagnato eventualmente da reti di attenuazione, equalizzazione, ecc.) ed il resistore Rw, che rappresenta elettricamente il woofer (accompagnato eventualmente da reti di compensazione, equalizzazione, ecc.) sono duali rispetto alle reti impiegate nel crossover Parallelo.
Secondo la legge di dualità, infatti, un condensatore serie è duale di un induttore parallelo, e viceversa un induttore serie è duale di un condensatore parallelo.
Si noti che nel crossover Serie la corrente entrante attraversa sempre entrambe le reti RLC prima di chiudere il circuito ed inoltre la somma delle sue tensioni di uscita eguaglia sempre la tensione ad esso applicata in ingresso.
Da quest’ultima considerazione si deduce che si è in presenza di una rete passa-tutto.
Nonostante queste prime, sostanziali differenze, si dimostra che, desiderando realizzare funzioni di filtraggio del primo ordine, le formule per il dimensionamento dei componenti sono, nei due casi, le medesime.
Imponendo l’eguaglianza dei valori delle impedenze di carico Rw = Rt = R si ha infatti, sia per il crossover Serie, sia per il crossover Parallelo:

\[ L=\frac{R}{2\pi F_{t}}\quad \quad \text(1a) \]

\[ C=\frac{1}{2\pi RF{_t}}\quad \quad \text(1b) \]

in cui Ft è la frequenza di taglio.
I risultanti andamenti con la frequenza di ampiezza e fase relativi alle due funzioni di filtraggio sono rispettivamente illustrati in fig. 4 (passa-alto) ed in fig. 5 (passa-basso).

Il punto di crossover (elettrico) è a -3dB, ovvero ad un livello di 3 dB inferiore a quello tipico del passabanda, e la pendenza massima di attenuazione è per entrambi i filtri pari a 6 dB/ottava.
Sia nel caso del passa-basso come nel caso del passa-alto vengono ad essere realizzate funzioni Butterworth di ordine 1, come risulta dai grafici. Si ribadisce che ciò è verificato nel solo dominio elettrico ed esperienza insegna che esiste solo una minima probabilità di riuscire ad estendere tali risultati nel dominio elettroacustico, ovvero riferendosi alle caratteristiche ingresso-uscita degli altoparlanti filtrati.
Ciò si spiega con la stessa natura di passa-banda dalla banda passante alquanto stretta che è comune a ogni tipologia di trasduttore elettroacustico e che comporta conseguenze dirette, troppo spesso purtroppo erroneamente ignorate, sulla caratteristica di fase elettroacustica.

4. SVANTAGGI DEL CROSSOVER SERIE DEL PRIMO ORDINE

Un primo, consistente limite del crossover Serie del primo ordine deriva dall’impossibilità di implementare funzioni di filtraggio passa-alto e passa-basso Butterworth dalle frequenze di taglio differenti.
Mentre infatti in un crossover in configurazione Parallelo i componenti reattivi possono essere calcolati ponendo:

Sezione inferiore

\[ L=\frac{R_{W}}{2\pi F_{tL}} \]

Sezione superiore

\[ C=\frac{1}{2\pi R_tF_{tH}} \]

in cui FtL ed FtH sono le desiderate frequenze di taglio, nel caso di realizzazione Serie il menzionato limite si origina per il fatto che le due tensioni di uscita del crossover sono correlate in quanto la loro somma deve sempre eguagliare la tensione di ingresso del crossover stesso (vedi fig. 3b), in altre parole per la natura passa-tutto di una simile rete elettrica.
E’ interessante investigare ciò che accade nell’ipotesi di ignorare l’esistenza di questa restrizione e di richiedere al crossover Serie del primo ordine a carichi bilanciati di realizzare un filtraggio passa-basso a frequenza FtL ed un filtraggio passa-alto a frequenza di taglio FtH, con FtH=3FtL.
Dimensionando i componenti mediante applicazione delle menzionate formule, il crossover risultante sarà caratterizzato dalle risposte in frequenza illustrate in fig. 6 e 7.

Lo scostamento tra quanto ottenuto (curva continua) rispetto a quanto auspicato (curva punteggiata) è più che evidente, sia per quel che concerne le caratteristiche di ampiezza sia per quanto attiene alle caratteristiche di sfasamento; si dimostra che allo stesso risultato si giunge anche nell’ipotesi di non aver tenuto conto della restrizione dei carichi bilanciati, dopo aver posto Rw = 3 Rt e frequenze di taglio coincidenti.
Peraltro, è decisamente rilevante osservare che simili andamenti non sono implementabili per mezzo di un crossover Parallelo del primo ordine; tale considerazione verrà ripresa più oltre.
Si è detto in precedenza che un crossover di tipo Serie non è costituito, diversamente dal crossover Parallelo, di sezioni identificabili fisicamente, questo perchè ogni rete RLC che lo costituisce interagisce con tutte le altre.
Apparentemente, questo non sembra essere il caso del crossover Serie del primo ordine, in cui l’induttore L pare essere unicamente responsabile del filtraggio passa-alto e il condensatore C del filtraggio passa-basso, visto che i rispettivi valori dipendono solo dai valori delle impedenze dei trasduttori ad essi associati, come risulta dalle eqq. (1).
Purtroppo non è così.
Si supponga infatti che, in luogo del carico puramente resistivo Rw, il crossover si trovi a dover gestire un carico misto reattivo-resistivo costituito da una resistenza Rw in serie ad una induttanza dell’ordine di qualche centinaio di microhenry.
Il caso è tutt’altro che inconsueto nelle applicazioni, trattandosi del carico approssimativamente presentato da un woofer per frequenze al di sopra della sua frequenza di risonanza.
I grafici di fig. 8 illustrano le curve di risposta in ampiezza e fase della sezione inferore del crossover Serie così terminato (linea continua “S”) a confronto con quelle teoriche del filtraggio passa-basso di tipo Butterworth del primo ordine (linea punteggiata) e con le analoghe caratteristiche elettriche della sezione inferiore di un crossover Parallelo del primo ordine terminata sul medesimo carico complesso (linea continua “P”).

Figura 8 – Caratteristiche elettriche della sezione inferiore del crossover Serie di fig. 3b (P = config. Parallelo, S = config. Serie) nel caso di collegamento di un carico misto resistivo-induttivo in luogo del resistore puro Rw: ampiezza (in alto) e sfasamento (in basso). Le curve punteggiate si riferiscono all’andamento teorico di riferimento.

Dal grafico relativo all’ampiezza si può osservare che, mentre la sezione inferiore del crossover Parallelo perde di fatto le sue proprietà di filtraggio divenendo più che altro un semplice equalizzatore di ampiezza, nel crossover Serie la funzione di filtraggio viene conservata, anche se compare un ampio intervallo di enfasi.
Quale conseguenza dell’interazione tra le reti RLC che compongono il crossover Serie, anche il filtraggio passa-alto risente della presenza del carico complesso ai terminali di uscita della sezione inferiore, come appare in piena evidenza sia nel grafico dell’ampiezza come in quello della fase in fig. 9.

Figura 9 – Caratteristiche elettriche della sezione superiore (virtuale) del crossover Serie di fig. 3b nel caso di collegamento di un carico misto resistivo-induttivo in luogo del resistore puro Rw: ampiezza (in alto) e sfasamento (in basso). Le curve punteggiate si riferiscono all’andamento teorico di riferimento.

Ovviamente ciò non accade in un crossover Parallelo del primo ordine, dove le sezioni inferiore e superiore sono totalmente indipendenti una dall’altra.
Questa esperienza rivela che l’interazione tra le sezioni sussiste anche in crossover Serie del primo ordine a carichi bilanciati.

Bibloografia

[1] V. Dickason, The Loudspeaker Design Cookbook, 5th edition, Audio Amateur Press, 1995.
[2] J.M. Eargle, Loudspeaker Handbook, Chapman & Hall, 1997.
[3] M.D. Hull, Building HiFi Speaker Systems, Philips El.Co.Ma. Technical Publication, 1980.
[4] D. Hermans, D. Hull, Designing HiFi speaker systems. Philips El.Co.Ma. Technical Publication, 1980.
[5] R. Small, “Constant-Voltage Crossover Network Design”, Proc. IREE Australia 31 (1970), reprinted in Loudspeakers an Anthology vol. 1, Audio Eng. Soc, pag. 172
[6] J.R. Ashley and A.L. Kaminsky, “Active and Passive Filters as Loudspeaker Crossover Networks”, 39th AES Convention (1970), reprinted in Loudspeakers. An Anthology vol. 1, Audio Eng. Soc, pag. 205.
[7] E. Baekgaard, “A Novel Approach to Linear Phase Loudspeakers Using Passive Crossover Networks”, J.Audio Eng. Soc (1977 May).
[8] F. Maffioli, U.Nicolao, “Another Approach to the Ideal Crossover: the Energy Filler”, 84° A.E.S. Convention, Parigi, 1988 (Preprint n.2642 L-6).
[9] U.Nicolao, F. Maffioli, “Series-Type Crossover Networks for Two-Way Loudspeaker Systems. Part 1: First to Less-Than-Second Order Crossovers”, 110° A.E.S. Convention, Amsterdam, 2001 (Preprint n.5321)

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